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Sentido algebraico · 4.º de ESO
Polinomios y factorización
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Objetivo
Al terminar sabrás operar con polinomios, dividirlos con la regla de Ruffini y factorizarlos para simplificar fracciones algebraicas.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Un polinomio es una suma de monomios, como P(x) = 3x³ - 2x + 5. Su grado es el mayor exponente de x (aquí, 3), el coeficiente principal es el que acompaña a ese término (3) y el término independiente es el que no lleva x (5).
El valor numérico de un polinomio en x = a, que se escribe P(a), se obtiene sustituyendo x por a y operando. Si P(a) = 0, decimos que a es una raíz del polinomio.
Las identidades notables ahorran cálculos: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b² y (a + b)(a - b) = a² - b². Conviene reconocerlas en los dos sentidos: para desarrollar y para factorizar.
La regla de Ruffini divide un polinomio entre (x - a) de forma rápida. Además, el teorema del resto dice que el resto de esa división es justamente P(a). Por eso, si P(a) = 0, (x - a) es un factor del polinomio.
Factorizar es escribir un polinomio como producto de factores lo más sencillos posible. Se combina sacar factor común, usar identidades notables, resolver ecuaciones de segundo grado y aplicar Ruffini. Con los polinomios factorizados se pueden simplificar fracciones algebraicas, igual que se simplifican fracciones numéricas.
Idea clave: Si P(a) = 0, entonces (x - a) es un factor de P(x): las raíces son la llave de la factorización.
Ejemplo resuelto: Factoriza P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6
- Paso 1 Probamos con divisores del término independiente (±1, ±2, ±3, ±6). P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, así que x = 1 es raíz.
- Paso 2 Dividimos por Ruffini entre (x - 1) con los coeficientes 1, -2, -5 y 6: obtenemos 1, -1, -6 y resto 0.
- Paso 3 El cociente es x² - x - 6, por lo que P(x) = (x - 1)(x² - x - 6).
- Paso 4 Resolvemos x² - x - 6 = 0: Δ = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5) / 2, es decir, x = 3 y x = -2.
- Paso 5 Escribimos la factorización completa con las tres raíces.
Resultado: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)
Resumen
- Un polinomio tiene grado, coeficiente principal y término independiente.
- Las identidades notables sirven para desarrollar y para factorizar.
- Ruffini divide entre (x - a) y el teorema del resto afirma que el resto es P(a).
- Si a es raíz, (x - a) es un factor del polinomio.
- Factorizar permite simplificar fracciones algebraicas.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido algebraico y pensamiento computacional · Razonamiento y prueba · Resolución de problemas · Comunicación y representación · Referencia: RD 217/2022 · Revisado el 27/10/2026