Simulación interactiva
Sentido algebraico · 3.º de ESO
Sucesiones y progresiones
Sin empezar
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Objetivo
Al terminar sabrás reconocer progresiones aritméticas y geométricas, calcular cualquiera de sus términos y la suma de varios de ellos.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una sucesión es una lista ordenada de números: a₁, a₂, a₃… Cada número es un término y el subíndice indica su posición. El término general aₙ es una fórmula que permite calcular el término que ocupa cualquier lugar n. Por ejemplo, si aₙ = 2n + 1, entonces a₁₀ = 21.
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia (d). En 2, 5, 8, 11… la diferencia es 3. Su término general es aₙ = a₁ + (n - 1) · d.
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Funciona porque el primero más el último suman lo mismo que el segundo más el penúltimo, y así sucesivamente.
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (r). En 3, 6, 12, 24… la razón es 2. Su término general es aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹, y la suma de sus n primeros términos (si r ≠ 1) es Sₙ = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1).
Las progresiones describen muchas situaciones reales: un ahorro que aumenta la misma cantidad cada semana es aritmético; una población que se duplica cada cierto tiempo o un precio que sube un porcentaje fijo cada año es geométrico.
Idea clave: Aritmética: siempre se suma lo mismo. Geométrica: siempre se multiplica por lo mismo.
Ejemplo resuelto: Iker ahorra 5 € la primera semana y cada semana 3 € más que la anterior. ¿Cuánto ahorra la semana 10 y cuánto lleva en total?
- Paso 1 Es una progresión aritmética con a₁ = 5 y d = 3.
- Paso 2 Término 10: a₁₀ = 5 + (10 - 1) · 3 = 5 + 27 = 32 €.
- Paso 3 Suma de las 10 semanas: S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 / 2 = (5 + 32) · 5.
- Paso 4 Calculamos: 37 · 5 = 185 €.
Resultado: La semana 10 ahorra 32 € y en total ha reunido 185 €.
Resumen
- Una sucesión es una lista ordenada de números; aₙ es su término general.
- Progresión aritmética: aₙ = a₁ + (n - 1) · d.
- Suma aritmética: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.
- Progresión geométrica: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹; suma Sₙ = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1).
- En las aritméticas la variación entre términos es constante (crecen, decrecen o se mantienen según d); las geométricas con a₁ > 0 y r > 1 crecen cada vez más rápido.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido algebraico y pensamiento computacional · Razonamiento y prueba · Resolución de problemas · Conexiones con situaciones reales · Referencia: RD 217/2022 · Revisado el 27/10/2026