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Sentido algebraico · 2.º de Bachillerato
Programación lineal
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Objetivo
Al terminar sabrás plantear y resolver gráficamente problemas de programación lineal con dos variables para maximizar beneficios o minimizar costes.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Un problema de programación lineal busca el máximo o el mínimo de una función objetivo lineal, z = a·x + b·y, sujeta a unas restricciones que son inecuaciones lineales. Casi siempre se incluyen las condiciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0.
Cada inecuación define un semiplano. Para saber cuál, se dibuja la recta frontera y se prueba un punto que no esté en ella (por ejemplo, el (0, 0)). La intersección de todos los semiplanos es la región factible: el conjunto de soluciones posibles.
Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas formados por las rectas frontera que se cortan. Hay que comprobar que cada punto de corte cumple todas las restricciones.
Teorema fundamental: si la región factible es acotada y no vacía, la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en algún vértice. Si dos vértices consecutivos dan el mismo valor óptimo, también lo dan todos los puntos del segmento que los une (infinitas soluciones).
Si la región es no acotada, puede que el óptimo no exista. Por ejemplo, al minimizar un coste con coeficientes positivos en una región no acotada «hacia arriba», el mínimo suele existir y estar en un vértice, pero el máximo no existe.
Idea clave: Dibuja la región factible, calcula sus vértices y evalúa la función objetivo en cada uno.
Ejemplo resuelto: Maximiza z = 3x + 2y con x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
- Paso 1 Dibujamos las rectas x + y = 4 y x + 3y = 6; el (0, 0) cumple ambas, así que la región está del lado del origen.
- Paso 2 Vértices en los ejes: (0, 0), (4, 0) y (0, 2).
- Paso 3 Corte de las dos rectas: restando, 2y = 2 ⇒ y = 1 y x = 3. Vértice (3, 1).
- Paso 4 Evaluamos: z(0, 0) = 0; z(4, 0) = 12; z(0, 2) = 4; z(3, 1) = 11.
- Paso 5 La región es acotada, así que el máximo está en el vértice de mayor valor.
Resultado: El máximo es z = 12, en el punto (4, 0).
Resumen
- Función objetivo lineal + restricciones lineales = problema de programación lineal.
- La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones.
- Los vértices se obtienen cortando las rectas frontera y comprobando todas las restricciones.
- En una región acotada, el óptimo está en un vértice (o en un segmento entre dos).
- En regiones no acotadas, el máximo o el mínimo pueden no existir.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Modelización matemática · Resolución de problemas · Representación y comunicación matemática · Conexiones con la economía · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026