Probabilidad e inferencia: intervalos de confianza

Para sucesos A y B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). La probabilidad condicionada es P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Si A₁, A₂… forman un sistema completo de sucesos, el teorema de la probabilidad total da P(B) = Σ P(Aᵢ) · P(B|Aᵢ), y el teorema de Bayes permite «darle la vuelta» a la condición: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ) · P(B|Aᵢ) / P(B). Un diagrama de árbol ayuda a organizar los datos.

Para una muestra de n observaciones independientes y con la misma distribución, si la población sigue una normal N(μ, σ), la media muestral sigue N(μ, σ/√n), donde el segundo parámetro indica la desviación típica. Si la población tiene varianza finita y no nula, el teorema central del límite permite aproximar la distribución de la media muestral por esa normal cuando n es suficientemente grande. n ≥ 30 es una regla orientativa, no una garantía para cualquier población: el tamaño necesario depende de la distribución de partida.

En esta unidad se estudian intervalos para la media con desviación típica poblacional σ conocida, a partir de observaciones independientes y con la misma distribución. Si la población es normal, el intervalo de confianza de nivel 1 − α es (x̄ − E, x̄ + E), con error máximo E = z_{α/2} · σ/√n; si se utiliza la aproximación del teorema central del límite, el nivel de confianza es aproximado. El valor crítico z_{α/2} deja una probabilidad α/2 a su derecha en la normal estándar. Valores críticos habituales: 1,645 (90 %), 1,96 (95 %) y 2,575 (99 %). Un nivel del 95 % significa que, al repetir el muestreo muchas veces y construir un intervalo en cada ocasión, aproximadamente el 95 % de esos intervalos contendría la media poblacional. Si σ es desconocida, esta fórmula no se aplica directamente: para una población normal se utiliza la desviación típica muestral s y un valor crítico de la distribución t de Student con n − 1 grados de libertad, caso que queda fuera del alcance de esta unidad.

Bajo las condiciones anteriores y con σ conocida, para conseguir un error máximo E dado, el tamaño muestral mínimo es n ≥ (z_{α/2} · σ / E)², redondeando siempre hacia arriba. Si se emplea la aproximación normal, también debe comprobarse que el tamaño obtenido sea suficiente para justificarla. El error disminuye al aumentar n y aumenta al subir el nivel de confianza o la dispersión σ.