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Sentido algebraico · 2.º de Bachillerato
Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales
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Objetivo
Al terminar sabrás operar con matrices, calcular determinantes e inversas y resolver ecuaciones matriciales aplicadas a situaciones económicas.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una matriz de dimensión m × n es una tabla de números con m filas y n columnas. Se suman y restan elemento a elemento si tienen la misma dimensión, y se multiplican por un número multiplicando cada elemento.
El producto A · B solo existe si el número de columnas de A coincide con el de filas de B: (m × n) · (n × p) da una matriz m × p. Cada elemento se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B. El producto no es conmutativo: en general A · B ≠ B · A.
El determinante de una matriz cuadrada es un número. En 2 × 2: |a b; c d| = a·d − b·c. En 3 × 3 se usa la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila. Propiedades útiles: det(A · B) = det(A) · det(B) y det(Aᵗ) = det(A).
Una matriz cuadrada A tiene inversa A⁻¹ (con A · A⁻¹ = I) si y solo si det(A) ≠ 0. Se calcula con la fórmula A⁻¹ = (1/|A|) · (Adj A)ᵗ o por Gauss-Jordan. En 2 × 2: la inversa de (a b; c d) es (1/(ad − bc)) · (d −b; −c a).
Para resolver ecuaciones matriciales se despeja como en álgebra, pero respetando el orden: si A · X = B, entonces X = A⁻¹ · B (multiplicando por la izquierda); si X · A = B, entonces X = B · A⁻¹. Nunca se «divide» entre matrices.
Idea clave: Con matrices, el orden importa: multiplicar por la izquierda no es lo mismo que por la derecha.
Ejemplo resuelto: Calcula la inversa de A = (2 1; 5 3)
- Paso 1 Calculamos el determinante: |A| = 2 · 3 − 1 · 5 = 1. Como es distinto de 0, existe la inversa.
- Paso 2 Intercambiamos los elementos de la diagonal principal: 3 y 2.
- Paso 3 Cambiamos de signo los de la diagonal secundaria: −1 y −5.
- Paso 4 Dividimos entre |A| = 1: A⁻¹ = (3 −1; −5 2).
- Paso 5 Comprobamos: (2 1; 5 3) · (3 −1; −5 2) = (6 − 5, −2 + 2; 15 − 15, −5 + 6) = (1 0; 0 1). ✔
Resultado: A⁻¹ = (3 −1; −5 2)
Resumen
- El producto (m × n) · (n × p) da una matriz m × p y no es conmutativo.
- Determinante 2 × 2: ad − bc; en 3 × 3, regla de Sarrus.
- A tiene inversa si y solo si det(A) ≠ 0.
- A · X = B ⇒ X = A⁻¹ · B; X · A = B ⇒ X = B · A⁻¹.
- Las matrices organizan datos económicos y permiten calcular costes e ingresos totales.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido algebraico · Resolución de problemas · Razonamiento y prueba · Modelización matemática · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026