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Sentido de las relaciones y el cambio · 2.º de Bachillerato
Derivadas e integrales aplicadas
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Objetivo
Al terminar sabrás usar derivadas para estudiar la monotonía y optimizar funciones económicas, y aplicar integrales al cálculo de áreas y de magnitudes acumuladas.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
La derivada f'(a) mide la tasa de variación instantánea de f en a: geométricamente, es la pendiente de la recta tangente. Reglas básicas: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^(kx))' = k·e^(kx); (ln x)' = 1/x; y las del producto, el cociente y la cadena.
Monotonía: si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente; si f'(x) < 0, decreciente. Los puntos críticos cumplen f'(a) = 0. Son máximos relativos si f' pasa de + a − (o f''(a) < 0) y mínimos relativos si pasa de − a + (o f''(a) > 0). Si f' no cambia de signo, no hay extremo.
En optimización se expresa la magnitud (beneficio, coste, ingreso) como función de una variable, se deriva, se iguala a 0 y se comprueba que el punto es el máximo o mínimo buscado y que tiene sentido en el contexto.
Una primitiva F de f cumple F' = f; la integral indefinida ∫f(x)dx = F(x) + C. La regla de Barrow calcula la integral definida: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
Si f ≥ 0 en [a, b], ∫ₐᵇ f(x)dx es el área bajo la curva. El área entre dos curvas es ∫ₐᵇ (f − g) dx, con f ≥ g. En economía, integrar una magnitud marginal (ingreso marginal, coste marginal) da la variación total acumulada.
Idea clave: Derivar mide el ritmo de cambio y permite optimizar; integrar acumula y permite calcular totales y áreas.
Ejemplo resuelto: El beneficio mensual de una empresa es B(x) = −x² + 40x − 300 (miles de euros; x = cientos de unidades). ¿Qué producción lo maximiza?
- Paso 1 Derivamos: B'(x) = −2x + 40.
- Paso 2 Igualamos a 0: −2x + 40 = 0 ⇒ x = 20.
- Paso 3 Comprobamos con la segunda derivada: B''(x) = −2 < 0, luego es un máximo.
- Paso 4 Calculamos el beneficio: B(20) = −400 + 800 − 300 = 100.
- Paso 5 Interpretamos: 20 cientos son 2.000 unidades y 100 miles de euros son 100.000 €.
Resultado: Con 2.000 unidades al mes se obtiene el beneficio máximo, de 100.000 €.
Resumen
- f'(x) > 0: creciente; f'(x) < 0: decreciente; f'(a) = 0: punto crítico.
- Si f'(a) = 0 y existe f''(a), entonces f''(a) < 0 indica máximo relativo y f''(a) > 0, mínimo relativo.
- Optimizar: modelizar, derivar, igualar a 0, comprobar e interpretar.
- Regla de Barrow: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
- La integral da áreas y totales acumulados a partir de magnitudes marginales.
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Proyecto Descartes
Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido de las relaciones y el cambio · Resolución de problemas · Modelización matemática · Conexiones con la economía · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026