Sistemas de ecuaciones lineales: teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de ecuaciones lineales se escribe en forma matricial como A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la columna de incógnitas y B la de términos independientes. Si a A se le añade la columna B se obtiene la matriz ampliada A*.

Según sus soluciones, un sistema es compatible determinado (SCD) si tiene una única solución, compatible indeterminado (SCI) si tiene infinitas e incompatible (SI) si no tiene ninguna.

El teorema de Rouché-Frobenius permite clasificarlo con rangos (n = número de incógnitas): si rg A ≠ rg A*, es SI; si **rg A = rg A* = n, es SCD; si rg A = rg A* < n**, es SCI y la solución depende de n - rg A parámetros.

Un sistema homogéneo (B = 0) siempre es compatible, porque admite la solución trivial; tiene soluciones distintas de la trivial solo si rg A < n (con A cuadrada, si det A = 0). La regla de Cramer resuelve un SCD con A cuadrada: x_i = det A_i / det A, donde A_i es A con la columna i sustituida por B.

Discutir un sistema con parámetro consiste en clasificarlo según los valores del parámetro. Si A es cuadrada, se puede calcular det A: cuando no se anula, el sistema es SCD; para los valores que lo anulan, se comparan rg A y rg A* con el número de incógnitas. Si A es rectangular, su determinante no está definido y se estudian directamente los rangos, por ejemplo mediante Gauss o menores. Para resolver un SCI se eligen incógnitas libres como parámetros (λ, μ…) y se expresan las demás en función de ellas.