Para docentes y familias
Sentido algebraico · 2.º de Bachillerato
Matrices y determinantes
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Objetivo
Al terminar sabrás operar con matrices, calcular determinantes de orden 2 y 3, estudiar el rango y hallar la matriz inversa para resolver ecuaciones matriciales.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una matriz de dimensión m × n es una tabla de números con m filas y n columnas; a_ij es el elemento de la fila i y la columna j. Es cuadrada si m = n, y su traspuesta A^t se obtiene cambiando filas por columnas.
Para multiplicar A · B, el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B: una matriz m × n por otra n × p da una m × p. Cada elemento es el producto escalar de una fila de A por una columna de B. El producto no es conmutativo: en general A · B ≠ B · A.
El determinante de una matriz cuadrada es un número: en orden 2, |a b; c d| = ad - bc; en orden 3 se usa la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila. Propiedades clave para A de orden n: det(A^t) = det A, det(A · B) = det A · det B, det(kA) = k^n · det A y, si A tiene dos filas proporcionales, det A = 0.
Una matriz cuadrada tiene inversa A^(-1) (con A · A^(-1) = I) si y solo si det A ≠ 0. Se calcula como A^(-1) = (1/det A) · (Adj A)^t, donde Adj A es la matriz de adjuntos (cofactores) de A. En orden 2: si A = [a b; c d], A^(-1) = (1/(ad - bc)) · [d -b; -c a].
El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes, que coincide con el orden del mayor menor no nulo. Con la inversa se resuelven ecuaciones matriciales: si A · X = B, entonces X = A^(-1) · B (multiplicando por la izquierda, porque el orden importa).
Idea clave: Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no es cero.
Ejemplo resuelto: Calcula la inversa de A = [2 1; 5 3] (filas separadas por punto y coma).
- Paso 1 Determinante: det A = 2 · 3 - 1 · 5 = 1 ≠ 0, así que A es invertible.
- Paso 2 Intercambiamos los elementos de la diagonal principal: 3 y 2.
- Paso 3 Cambiamos de signo los de la otra diagonal: -1 y -5.
- Paso 4 Dividimos entre det A = 1: A^(-1) = [3 -1; -5 2].
- Paso 5 Comprobamos: A · A^(-1) = [6 - 5, -2 + 2; 15 - 15, -5 + 6] = [1 0; 0 1]. ✔
Resultado: A^(-1) = [3 -1; -5 2]
Resumen
- Solo se pueden multiplicar A (m × n) y B (n × p), y el resultado es m × p.
- El producto de matrices no es conmutativo.
- Orden 2: det = ad - bc; orden 3: regla de Sarrus. det(kA) = k^n · det A.
- A tiene inversa si y solo si det A ≠ 0.
- El rango es el orden del mayor menor no nulo; A · X = B ⇒ X = A^(-1) · B.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido algebraico y pensamiento computacional · Resolución de problemas · Razonamiento y prueba · Comunicación y representación matemática · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026