Para docentes y familias
Sentido algebraico y sentido estocástico · 2.º de Bachillerato
Integrales y probabilidad
Sin empezar
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Objetivo
Al terminar sabrás calcular primitivas e integrales definidas para hallar áreas, y resolver problemas de probabilidad con el teorema de Bayes y las distribuciones binomial y normal.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una primitiva de f es una función F con F' = f; el conjunto de todas es la integral indefinida ∫ f(x) dx = F(x) + C. Se obtienen con la tabla de integrales inmediatas, con cambio de variable y con la integración por partes: ∫ u dv = u·v - ∫ v du.
La regla de Barrow calcula la integral definida: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Si f ≥ 0 en [a, b], es el área bajo la curva; el área entre dos curvas es ∫ (f - g) dx entre sus puntos de corte, con f la de arriba. Si la función cambia de signo, el área se calcula por tramos en valor absoluto.
En probabilidad, si A1, A2… forman un sistema completo de sucesos, la probabilidad total es P(B) = Σ P(Ai) · P(B | Ai), y el teorema de Bayes da la probabilidad «a posteriori»: P(Ai | B) = P(Ai) · P(B | Ai) / P(B). Un diagrama de árbol organiza estos cálculos.
Una variable binomial X ~ B(n, p) cuenta los éxitos en n pruebas independientes con probabilidad de éxito p: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 - p)^(n - k), con media μ = np y desviación típica σ = √(np(1 - p)).
Una variable normal X ~ N(μ, σ) es continua y tiene forma de campana. Se tipifica con Z = (X - μ) / σ, que sigue una N(0, 1), y se usa su tabla, que da P(Z ≤ z). Para colas superiores se usa P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z), y por simetría P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z).
Idea clave: Integrar es acumular (áreas); Bayes es razonar hacia atrás: de lo que se observa a su causa más probable.
Ejemplo resuelto: Calcula el área encerrada entre la parábola y = 4 - x^2 y el eje OX.
- Paso 1 Puntos de corte con OX: 4 - x^2 = 0 ⇒ x = -2 y x = 2.
- Paso 2 En [-2, 2] la función es positiva, así que el área es ∫_{-2}^{2} (4 - x^2) dx.
- Paso 3 Primitiva: F(x) = 4x - x^3/3.
- Paso 4 Barrow: F(2) - F(-2) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3.
Resultado: Área = 32/3 u^2 ≈ 10,67 u^2
Resumen
- ∫ f(x) dx = F(x) + C con F' = f; por partes: ∫ u dv = u·v - ∫ v du.
- Barrow: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a); el área entre curvas se integra entre sus cortes.
- Probabilidad total y Bayes: P(Ai | B) = P(Ai) · P(B | Ai) / P(B).
- Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k), μ = np, σ = √(np(1 - p)).
- Normal N(μ, σ): se tipifica con Z = (X - μ)/σ y se usa la tabla N(0, 1).
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido algebraico y pensamiento computacional · Sentido estocástico · Resolución de problemas · Conexiones con la vida cotidiana · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026