Para docentes y familias
Sentido espacial · 2.º de Bachillerato
Geometría en el espacio
Sin empezar
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Objetivo
Al terminar sabrás usar los productos escalar, vectorial y mixto, escribir ecuaciones de rectas y planos en el espacio y calcular posiciones relativas, ángulos, distancias, áreas y volúmenes.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
En el espacio, un vector tiene tres componentes, u = (u1, u2, u3), y su módulo es |u| = √(u1^2 + u2^2 + u3^2). El producto escalar u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 es un número y vale 0 si los vectores son perpendiculares.
El producto vectorial u × v es un vector perpendicular a u y a v cuyas componentes se obtienen con un determinante formal: u × v = (u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1). Su módulo es el área del paralelogramo de lados u y v. El producto mixto [u, v, w] = u · (v × w) es el determinante de los tres vectores; su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo, y el de un tetraedro es la sexta parte.
Una recta se da con un punto y un vector director: (x, y, z) = P + λ·v (también en paramétricas o en continua). Un plano se da con un punto y dos vectores directores, o mejor con su ecuación general Ax + By + Cz + D = 0, donde n = (A, B, C) es un vector normal al plano.
Dos planos son paralelos si sus normales son proporcionales y los términos D no; coincidentes si todo es proporcional, y secantes (se cortan en una recta) si las normales no son proporcionales. Las posiciones de rectas y planos se pueden estudiar con rangos, como en los sistemas.
Distancia de un punto P(x0, y0, z0) a un plano: d = |A x0 + B y0 + C z0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2). El ángulo entre dos planos es el que forman sus vectores normales: cos α = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|).
Idea clave: Plano Ax + By + Cz + D = 0: el vector (A, B, C) es perpendicular a él. Producto vectorial: vector perpendicular a otros dos.
Ejemplo resuelto: Halla el plano que pasa por P(1, 2, 0) y es perpendicular a la recta r: (x, y, z) = (0, 1, 2) + λ(3, -1, 2).
- Paso 1 Si el plano es perpendicular a r, el director de r es normal al plano: n = (3, -1, 2).
- Paso 2 La ecuación es 3x - y + 2z + D = 0.
- Paso 3 Imponemos que pase por P: 3 · 1 - 2 + 2 · 0 + D = 0 ⇒ D = -1.
- Paso 4 Plano: 3x - y + 2z - 1 = 0. Comprobación con P: 3 - 2 + 0 - 1 = 0. ✔
Resultado: π: 3x - y + 2z - 1 = 0
Resumen
- u · v es un número; u × v es un vector perpendicular a ambos; [u, v, w] es un determinante.
- |u × v| = área del paralelogramo; |[u, v, w]| = volumen del paralelepípedo (tetraedro: entre 6).
- Recta: punto + vector director. Plano: Ax + By + Cz + D = 0 con normal (A, B, C).
- La posición relativa de planos se decide comparando normales y términos independientes.
- d(P, π) = |A x0 + B y0 + C z0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2).
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido espacial · Resolución de problemas · Razonamiento y prueba · Comunicación y representación matemática · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026