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Geometría y transformaciones · 2.º de Bachillerato
Transformaciones geométricas: homología, afinidad e inversión
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Objetivo
Al terminar sabrás definir y aplicar la homología, la afinidad y la inversión, y usar sus propiedades para transformar figuras planas.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una transformación geométrica asocia a cada punto A de una figura un punto A', su homólogo. Las isometrías (traslación, giro y simetría) conservan forma y tamaño; la homotecia de centro O y razón k (OA' = k · OA) conserva la forma pero cambia el tamaño. En este curso se estudian además tres transformaciones que deforman la figura de manera controlada.
La homología plana queda definida por un centro O, un eje e y un par de puntos homólogos A y A'. Propiedades: los puntos homólogos están alineados con el centro; las rectas homólogas se cortan en el eje (o son paralelas a él); los puntos del eje son dobles. Existen dos rectas límite, RL y RL', paralelas al eje: los puntos de RL tienen su homólogo en el infinito, y la distancia de O a una recta límite es igual a la distancia del eje a la otra.
La afinidad es una homología cuyo centro es impropio (está en el infinito): los puntos homólogos se unen por rectas paralelas a una dirección de afinidad, y las rectas homólogas siguen cortándose en el eje. La razón de afinidad es k = MA' / MA, siendo M el punto del eje alineado con A y A'. Si la dirección es perpendicular al eje, la afinidad es ortogonal; así se transforma una circunferencia en una elipse. A diferencia de la homología, la afinidad conserva el paralelismo.
La inversión de centro O y potencia k asocia a cada punto A el punto A' de la recta OA tal que OA · OA' = k. Si k > 0, A y A' están al mismo lado de O y existe una circunferencia de puntos dobles de radio √k; si k < 0, están a lados opuestos. Una recta que pasa por O es doble; una recta que no pasa por O se transforma en una circunferencia que pasa por O, y viceversa; una circunferencia que no pasa por O se transforma en otra circunferencia. La inversión conserva los ángulos.
Estas transformaciones son herramientas de resolución: la afinidad relaciona la proyección de una figura con su abatimiento en diédrico, la homología relaciona una figura con su sección o su perspectiva cónica, y la inversión simplifica problemas de tangencias convirtiendo circunferencias en rectas.
Idea clave: Homología: centro, eje y rectas que se cortan en el eje. Afinidad: lo mismo con centro en el infinito. Inversión: OA · OA' = k.
Ejemplo resuelto: Halla el homólogo de un triángulo ABC en una homología de centro O, eje e y par A → A'
- Paso 1 Prolonga AB hasta cortar al eje en el punto doble M.
- Paso 2 Une M con A': es la recta homóloga de AB.
- Paso 3 Une O con B; su corte con MA' es B'.
- Paso 4 Repite con AC: corte con el eje en N, recta NA' y corte con OC para obtener C'.
- Paso 5 Comprueba que B'C' y BC se cortan sobre el eje.
Resultado: Triángulo A'B'C' homólogo de ABC, con todos los pares alineados con O y todas las rectas homólogas cortándose en el eje.
Resumen
- Homología: centro, eje y par de homólogos; homólogos alineados con O, rectas homólogas que se cortan en el eje.
- Rectas límite paralelas al eje; d(O, RL) = d(e, RL').
- Afinidad: centro impropio, dirección de afinidad, razón k = MA' / MA; conserva el paralelismo.
- Inversión: OA · OA' = k; rectas que no pasan por O ↔ circunferencias que pasan por O.
- Aplicaciones: abatimientos, secciones, cónicas y tangencias.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: CE1. Razonamiento geométrico · CE2. Resolución de problemas gráficos · CE6. Visión espacial · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026