Funciones, límites y continuidad

El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que existe f(x). Las polinómicas tienen dominio ℝ; en las racionales se excluyen los ceros del denominador; en las raíces de índice par, el radicando debe ser ≥ 0; en los logaritmos, el argumento debe ser > 0.

El límite de f(x) cuando x tiende a a describe a qué valor se acerca f(x) cuando x se aproxima a a. Existe si los límites laterales (por la izquierda y por la derecha) existen y coinciden. Al sustituir pueden aparecer indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞ o 1^∞.

La indeterminación 0/0 en cocientes de polinomios se resuelve factorizando y simplificando. La ∞/∞ en el infinito se resuelve comparando grados: si el numerador tiene mayor grado, el límite es ±∞; si es menor, 0; si son iguales, el cociente de los coeficientes principales. La ∞ − ∞ con raíces se resuelve multiplicando por el conjugado.

Una función es continua en x = a si existe f(a), existe el límite en a y ambos coinciden. Si falla alguna condición hay una discontinuidad. En los casos estudiados en esta unidad, las discontinuidades pueden ser evitables, de salto o asintóticas, aunque existen otros tipos. En funciones definidas a trozos se comparan los límites laterales en los puntos de unión.

Las asíntotas describen el comportamiento extremo: hay asíntota vertical x = a si al menos uno de los límites laterales cuando x tiende a a es +∞ o −∞; asíntota horizontal y = L si el límite cuando x tiende a +∞ o a −∞ es el número real L. En los modelos sociales, la horizontal indica el valor de estabilización a largo plazo.