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Sentido estocástico · 1.º de Bachillerato
Estadística bidimensional: correlación y regresión
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Objetivo
Al terminar sabrás calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de Pearson, obtener rectas de regresión y valorar la fiabilidad de las estimaciones.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una variable estadística bidimensional (X, Y) recoge dos características de cada individuo, por ejemplo horas de estudio y nota. Su representación es la nube de puntos o diagrama de dispersión, que permite intuir si hay relación y de qué tipo.
La covarianza mide cómo varían conjuntamente las dos variables: Sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)/n = Σxi·yi/n − x̄·ȳ. Si es positiva, cuando una crece la otra tiende a crecer; si es negativa, tiende a decrecer. Su valor depende de las unidades.
El coeficiente de correlación de Pearson es r = Sxy / (Sx · Sy), siempre entre −1 y 1, y no depende de las unidades. Si |r| está cerca de 1, la relación lineal es fuerte; si está cerca de 0, es débil o inexistente. Su signo indica si es directa o inversa. El coeficiente de determinación r² indica el porcentaje de variabilidad de Y explicado por la recta.
La recta de regresión de Y sobre X permite estimar y conocido x: y − ȳ = (Sxy / Sx²)(x − x̄). Para estimar x conocido y se usa la recta de X sobre Y: x − x̄ = (Sxy / Sy²)(y − ȳ). Ambas se cortan en el punto (x̄, ȳ).
Una estimación es fiable si |r| es alto y el valor usado está dentro del rango de los datos; fuera de él (extrapolación) puede ser muy engañosa. Además, correlación no implica causalidad: dos variables pueden ir juntas por una tercera causa común.
Idea clave: r mide la fuerza de la relación lineal; la recta de regresión la usa para predecir, con fiabilidad dentro del rango de los datos (fuera de él, la extrapolación puede ser engañosa).
Ejemplo resuelto: Horas de estudio semanales (x) y nota (y): (1, 4), (2, 6), (3, 7), (4, 6), (5, 7). Halla r y la recta de regresión de Y sobre X.
- Paso 1 Medias: x̄ = 15/5 = 3 e ȳ = 30/5 = 6.
- Paso 2 Desviaciones: x − x̄ = −2, −1, 0, 1, 2; y − ȳ = −2, 0, 1, 0, 1. Suma de productos: 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6, así que Sxy = 6/5 = 1,2.
- Paso 3 Varianzas: Sx² = (4 + 1 + 0 + 1 + 4)/5 = 2 y Sy² = (4 + 0 + 1 + 0 + 1)/5 = 1,2.
- Paso 4 Correlación: r = 1,2 / (√2 · √1,2) = 1,2 / √2,4 ≈ 0,77, positiva y moderadamente fuerte.
- Paso 5 Recta: pendiente 1,2/2 = 0,6; y − 6 = 0,6(x − 3) ⇒ y = 0,6x + 4,2.
Resultado: r ≈ 0,77 y la recta de regresión es y = 0,6x + 4,2.
Resumen
- La nube de puntos muestra visualmente la relación entre dos variables.
- Covarianza: Sxy = Σxi·yi/n − x̄·ȳ; su signo indica relación directa o inversa.
- Pearson: r = Sxy/(Sx·Sy), entre −1 y 1; r² es el coeficiente de determinación.
- Recta de Y sobre X: y − ȳ = (Sxy/Sx²)(x − x̄); se usa para estimar y.
- Las predicciones son fiables con |r| alto y sin extrapolar; correlación no implica causalidad.
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Proyecto Descartes
Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido estocástico · Razonamiento crítico · Representación y comunicación matemática · Conexiones con las ciencias sociales · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026