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Sentido algebraico · 1.º de Bachillerato
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
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Objetivo
Al terminar sabrás resolver ecuaciones exponenciales, logarítmicas, irracionales y racionales, y sistemas lineales de tres ecuaciones por el método de Gauss.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente. Si se puede, se escriben ambos miembros como potencias de la misma base (2^x = 32 = 2^5 ⇒ x = 5). Si aparecen varias potencias de la misma base, se hace un cambio de variable (t = 2^x) y se obtiene una ecuación polinómica.
En una ecuación logarítmica se aplican las propiedades log(a) + log(b) = log(a · b) y log(a) − log(b) = log(a/b) hasta llegar a log A = log B, y entonces A = B. Siempre hay que comprobar: el argumento de un logaritmo debe ser positivo.
En las ecuaciones irracionales se aísla la raíz y se eleva al cuadrado. Al elevar pueden aparecer soluciones falsas, así que la comprobación es obligatoria. En las racionales, se multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores y se descartan los valores que anulan algún denominador.
Un sistema lineal puede ser compatible determinado (solución única), compatible indeterminado (infinitas soluciones) o incompatible (sin solución). El método de Gauss transforma el sistema en otro equivalente escalonado combinando ecuaciones, y después se resuelve de abajo arriba.
Para plantear problemas, se definen las incógnitas con sus unidades, se traduce cada condición del enunciado en una ecuación, se resuelve y se interpreta la solución en el contexto.
Idea clave: Transforma, resuelve y comprueba: en logaritmos, raíces y denominadores, comprobar no es opcional.
Ejemplo resuelto: Resuelve por Gauss: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2
- Paso 1 Eliminamos x de la 2.ª: E2 − 2·E1 ⇒ −3y − z = −9.
- Paso 2 Eliminamos x de la 3.ª: E3 − E1 ⇒ y − 2z = −4, es decir, y = 2z − 4.
- Paso 3 Sustituimos en la anterior: −3(2z − 4) − z = −9 ⇒ −7z + 12 = −9 ⇒ z = 3.
- Paso 4 Volvemos atrás: y = 2 · 3 − 4 = 2 y x = 6 − 2 − 3 = 1.
- Paso 5 Comprobamos en la 3.ª ecuación: 1 + 4 − 3 = 2. ✔
Resultado: Sistema compatible determinado: x = 1, y = 2, z = 3.
Resumen
- Exponenciales: igualar bases o hacer un cambio de variable t = a^x.
- Logarítmicas: aplicar propiedades hasta log A = log B y comprobar que los argumentos son positivos.
- Irracionales: aislar la raíz, elevar al cuadrado y comprobar siempre.
- Un sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
- El método de Gauss escalona el sistema y se resuelve de abajo arriba.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: Sentido algebraico · Resolución de problemas · Razonamiento y prueba · Modelización matemática · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 27/10/2026