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Sentido de la medida · 1.º de Bachillerato
Derivadas y aplicaciones
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Objetivo
Al terminar sabrás calcular tasas de variación y derivadas de funciones elementales, y usar la derivada para estudiar el crecimiento, los extremos y problemas de optimización.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
La tasa de variación media de una función entre dos valores indica cuánto cambia, de media, la función por cada unidad que cambia la variable. Se calcula dividiendo el cambio de la función entre el cambio de la variable.
La derivada mide la tasa de variación instantánea. Para funciones polinómicas, derivamos término a término: la derivada de una constante es 0 y la de xⁿ es n·xⁿ⁻¹. También podemos sumar derivadas y multiplicarlas por constantes. Además, (eˣ)' = eˣ y (ln x)' = 1/x para x > 0.
La derivada permite estudiar el crecimiento: si f'(x) es positiva en un intervalo, la función crece; si es negativa, decrece. Los puntos donde f'(x) = 0 son candidatos a ser extremos, pero hay que estudiar el signo de la derivada a ambos lados.
Para resolver problemas de optimización, expresamos la cantidad que queremos maximizar o minimizar como una función, tenemos en cuenta las restricciones y buscamos sus puntos críticos. Después comprobamos cuál de ellos da el máximo o el mínimo en el dominio del problema.
Idea clave: La derivada indica cómo cambia una función; su signo revela dónde crece o decrece y ayuda a localizar sus extremos.
Ejemplo resuelto: Estudia el crecimiento y los extremos de f(x) = x² − 6x + 5.
- Paso 1 Derivamos: f'(x) = 2x − 6.
- Paso 2 Buscamos los puntos críticos: 2x − 6 = 0, así que x = 3.
- Paso 3 Si x < 3, f'(x) < 0; si x > 3, f'(x) > 0. Por tanto, la función decrece hasta x = 3 y crece después.
- Paso 4 Calculamos el valor en el punto crítico: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
Resultado: La función tiene un mínimo en (3, −4): decrece antes de x = 3 y crece después.
Resumen
- Tasa de variación media entre a y b: [f(b) − f(a)] / (b − a).
- La derivada representa la tasa de variación instantánea.
- Reglas básicas: la derivada de una constante es 0 y la de xⁿ es n·xⁿ⁻¹.
- También se cumple que (eˣ)' = eˣ y que (ln x)' = 1/x para x > 0.
- Si f'(x) > 0, la función crece; si f'(x) < 0, decrece.
- Los puntos con f'(x) = 0 son candidatos a extremos; se comprueba el signo de la derivada a ambos lados.
- En optimización se construye una función objetivo y se consideran las restricciones del problema.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: CE1. Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento para obtener posibles soluciones. · CE2. Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación para contrastar su idoneidad. · CE5. Establecer, investigar y utilizar conexiones entre las diferentes ideas matemáticas. · CE7. Representar conceptos, procedimientos e información matemáticos para visualizar ideas y estructurar procesos matemáticos. · CE8. Comunicar las ideas matemáticas, de forma individual y colectiva, empleando el soporte, la terminología y el rigor apropiados. · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 28/10/2026