Vectores y geometría analítica del plano

Un vector AB va del punto A al punto B y sus componentes son B - A. Si u = (u1, u2), su módulo es |u| = √(u1^2 + u2^2). Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales.

El producto escalar es u · v = u1 v1 + u2 v2 = |u| · |v| · cos(u, v). Sirve para calcular ángulos y, sobre todo, para detectar perpendicularidad: u ⊥ v ⇔ u · v = 0.

Una recta queda determinada por un punto P y un vector director v. De ahí salen sus ecuaciones vectorial (x, y) = P + t·v, paramétricas, continua (x - p1)/v1 = (y - p2)/v2, general Ax + By + C = 0 y explícita y = mx + n. En la general, (A, B) es un vector normal (perpendicular a la recta) y (-B, A) es un director; la pendiente es m = v2/v1 = -A/B (si v1 ≠ 0, es decir, B ≠ 0; las rectas verticales no tienen pendiente). La forma continua exige v1 ≠ 0 y v2 ≠ 0; si una componente es 0, la recta es x = p1 o y = p2.

Dos rectas Ax + By + C = 0 y A'x + B'y + C' = 0 son secantes si A/A' ≠ B/B'; paralelas si A/A' = B/B' ≠ C/C', y coincidentes si los tres cocientes son iguales (si algún coeficiente es 0, se usa Δ = AB' − A'B: si Δ ≠ 0, son secantes; si Δ = 0, son coincidentes cuando (A', B', C') es proporcional a (A, B, C), y paralelas en caso contrario). Son perpendiculares si sus vectores normales lo son, (A, B) · (A', B') = 0 (o si m · m' = -1, cuando ambas pendientes existen).

La distancia de un punto P(x0, y0) a la recta Ax + By + C = 0 es d = |A x0 + B y0 + C| / √(A^2 + B^2). El área de un triángulo de vértices A, B y C es la mitad del valor absoluto de det(AB, AC).