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Sentido estocástico · 1.º de Bachillerato
Variables aleatorias y distribuciones
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Objetivo
Al terminar sabrás distinguir variables aleatorias discretas y continuas, calcular esperanza y varianza, y utilizar las distribuciones binomial y normal para modelizar situaciones y obtener probabilidades.
En pocas palabras (lectura fácil)
Para madres, padres y tutores (1 minuto)
Explicación
Una variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio. Es discreta si sus valores posibles se pueden contar, como el número de aciertos; es continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo, como una duración o una altura.
La esperanza es el valor medio teórico de una variable aleatoria. En una variable discreta se calcula multiplicando cada valor por su probabilidad y sumando los productos. La varianza mide cuánto se dispersan los valores respecto a la esperanza; también puede calcularse como E(X²) − [E(X)]².
La distribución binomial modeliza el número de éxitos en un número fijo de pruebas independientes, cuando en todas la probabilidad de éxito es la misma. Se escribe B(n, p), donde n es el número de pruebas y p la probabilidad de éxito; su esperanza es np y su varianza, np(1 − p).
La distribución normal es continua, simétrica y tiene forma de campana. Queda determinada por su media μ y su desviación típica σ. Para calcular probabilidades, se puede transformar un valor x en una puntuación tipificada z = (x − μ)/σ y consultar la tabla de la normal estándar.
Idea clave: Identifica el tipo de variable y el modelo; después, relaciona sus parámetros con la pregunta que quieres responder.
Ejemplo resuelto: Calcula la probabilidad de obtener exactamente un éxito
- Paso 1 Supongamos que se hacen 4 pruebas independientes y que la probabilidad de éxito en cada una es 0,25. El número de éxitos X sigue una distribución B(4; 0,25).
- Paso 2 Para obtener exactamente un éxito, elegimos cuál de las 4 pruebas es la que tiene éxito. Hay C(4,1) = 4 posibilidades.
- Paso 3 La probabilidad de cada posibilidad es 0,25 · 0,75³: un éxito y tres fracasos.
- Paso 4 Multiplicamos: P(X = 1) = 4 · 0,25 · 0,75³ = 0,421875.
Resultado: La probabilidad de obtener exactamente un éxito es 0,421875.
Resumen
- Una variable aleatoria discreta toma valores que se pueden contar; una continua puede tomar cualquier valor de un intervalo.
- La esperanza de una variable discreta es la suma de cada valor multiplicado por su probabilidad.
- La varianza se puede calcular como E(X²) − [E(X)]².
- Para X ~ B(n, p), E(X) = np y Var(X) = np(1 − p).
- En una distribución normal, z = (x − μ)/σ permite comparar valores con la normal estándar.
- En una variable continua, la probabilidad de obtener exactamente un valor concreto es 0.
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Estado curricular: Currículo general LOMLOE · Competencias: CE1. Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología aplicando estrategias y razonamientos matemáticos. · CE2. Verificar la validez de las soluciones mediante el razonamiento y la argumentación. · CE5. Establecer conexiones entre ideas matemáticas para dar significado y estructurar el aprendizaje. · CE6. Conectar las matemáticas con otras áreas de conocimiento para modelizar y resolver problemas. · CE7. Representar conceptos e información matemáticos seleccionando tecnologías adecuadas. · CE8. Comunicar ideas matemáticas con terminología y rigor apropiados. · Referencia: RD 243/2022 · Revisado el 28/10/2026