Números reales y logaritmos

Los números reales (ℝ) reúnen los racionales (los que se escriben como fracción: enteros, decimales exactos y periódicos) y los irracionales (decimales infinitos no periódicos, como √2, π o e). Cada número real ocupa un punto de la recta y cada punto de la recta es un número real.

Los subconjuntos de la recta se describen con intervalos: (a, b) excluye los extremos, [a, b] los incluye. El valor absoluto |x| mide la distancia de x al 0, por eso |x - a| < r significa «x está a menos de r unidades de a», es decir, x ∈ (a - r, a + r).

Con radicales se opera como con potencias de exponente fraccionario: ⁿ√(a^m) = a^(m/n) (para a ≥ 0; con bases negativas hay que estudiar cada caso). Racionalizar es eliminar las raíces del denominador multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (por ejemplo, por √3 o por el conjugado a - √b).

El logaritmo en base b (b > 0, b ≠ 1) de un número x > 0 es el exponente al que hay que elevar b para obtener x: log_b x = y ⇔ b^y = x. Sus propiedades clave son log(a · c) = log a + log c, log(a / c) = log a - log c, log(a^n) = n · log a y el cambio de base log_b x = log x / log b. Ojo: no existe ninguna regla para log(a + c).

En una ecuación exponencial se igualan bases o se toman logaritmos; si aparece b^(2x), conviene el cambio t = b^x. En una ecuación logarítmica se agrupan los logaritmos en uno solo y se eliminan; al final hay que comprobar las soluciones, porque solo existen logaritmos de números positivos.