Funciones, límites y derivadas

El dominio de una función es el conjunto de valores de x en los que se puede calcular: hay que excluir los que anulan un denominador, los que dejan negativo el radicando de una raíz de índice par y los que no hacen positivo el argumento de un logaritmo.

El límite lim_{x→a} f(x) es el valor al que se acercan las imágenes cuando x se acerca a a. Si al sustituir aparece una indeterminación como 0/0 se factoriza y se simplifica; en ∞/∞ con cocientes de polinomios se comparan los grados. Una función es continua en a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.

Las asíntotas describen el comportamiento en el infinito o cerca de un punto: vertical x = a si al menos uno de los límites laterales cuando x se acerca a a es +∞ o −∞; horizontal y = L si el límite de f(x) cuando x tiende a +∞ o a −∞ es el número finito L; oblicua y = mx + n si, en el extremo estudiado, m = lim f(x)/x es un número finito distinto de 0 y n = lim (f(x) - mx) también es finito. Los extremos +∞ y −∞ se estudian por separado; en un mismo extremo no puede haber a la vez una asíntota horizontal y una oblicua.

La derivada f'(a) = lim_{h→0} [f(a + h) - f(a)] / h es la pendiente de la recta tangente en x = a, cuya ecuación es y - f(a) = f'(a)(x - a). Reglas básicas: (x^n)' = n x^(n-1), (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x, (sen x)' = cos x, y las del producto, el cociente y la regla de la cadena. Toda función derivable es continua, pero no al revés.

Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente; si f'(x) < 0, decreciente. En puntos interiores del dominio, los extremos relativos pueden aparecer donde f'(x) = 0 o donde la derivada no existe. Si f es continua en uno de estos puntos, un cambio de signo de f' de positivo a negativo indica un máximo relativo, y de negativo a positivo, un mínimo relativo. En los problemas de optimización se expresa la magnitud que se quiere optimizar en función de una variable, se determina su dominio y se estudian estos candidatos, junto con los extremos del dominio si están incluidos.