Trazados fundamentales: mediatriz, bisectriz y teorema de Thales

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una misma propiedad. Es la herramienta que convierte una condición («equidistar», «estar a una distancia r») en un trazado concreto. Los tres más usados son la circunferencia (puntos a distancia r de un centro), la mediatriz y la bisectriz.

La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus extremos. Es la recta perpendicular a AB por su punto medio. Se construye con dos arcos de igual radio (mayor que AB/2) con centros en A y en B: la recta que une sus dos cortes es la mediatriz. Las mediatrices de un triángulo se cortan en el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita.

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus lados, y lo divide en dos ángulos iguales. Las bisectrices de un triángulo se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita. Si los lados del ángulo no llegan a cortarse dentro del papel, se trazan paralelas a igual distancia de ambos lados y se halla la bisectriz del ángulo que forman.

El teorema de Thales afirma que si varias rectas paralelas cortan a dos secantes, los segmentos determinados en una son proporcionales a los determinados en la otra. Permite dividir un segmento en partes iguales o en una proporción dada: se lleva sobre una semirrecta auxiliar el número de partes, se une el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas.

Con Thales también se obtiene la cuarta proporcional (x tal que a/b = c/x) y, con la semicircunferencia, la media proporcional (x^2 = a·b, teorema de la altura). Otro lugar geométrico clave es el arco capaz: los puntos desde los que un segmento AB se ve con un ángulo constante α.