Polígonos regulares y tangencias

Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales y se puede inscribir en una circunferencia. Su ángulo central mide 360°/n y la suma de sus ángulos interiores es (n − 2) · 180°, de modo que cada ángulo interior mide (n − 2) · 180°/n. El lado del polígono de n lados inscrito en una circunferencia de radio R es l = 2R · sen(180°/n).

Hay métodos exactos para algunos polígonos: el hexágono se obtiene llevando el radio seis veces sobre la circunferencia (su lado es igual al radio); el triángulo equilátero, uniendo vértices alternos del hexágono; el cuadrado, con dos diámetros perpendiculares; el octógono, añadiendo las bisectrices de esos diámetros; y el pentágono, mediante la sección áurea del radio. El heptágono se construye de forma aproximada: su lado es la mitad del lado del triángulo inscrito.

Dos figuras son tangentes cuando tienen un único punto en común sin cortarse. Propiedades básicas: la recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia; y si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia están alineados. La distancia entre centros es R + r si son tangentes exteriores y R − r si son interiores.

Para resolver una tangencia se busca primero el centro de la circunferencia solución como intersección de lugares geométricos: bisectriz (tangente a dos rectas que se cortan), mediatriz (pasa por dos puntos), paralela a distancia r (tangente a una recta con radio r) o circunferencia concéntrica de radio R ± r (tangente a otra circunferencia). Después se hallan los puntos de tangencia, imprescindibles para que el enlace sea limpio.

Los problemas más complejos (circunferencia tangente a una recta que pasa por dos puntos, problemas de Apolonio) se resuelven con el concepto de potencia de un punto: si P es exterior a una circunferencia, la longitud de la tangente desde P cumple PT^2 = PA · PB para cualquier secante PAB.